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13 이세 2024 64보기 저자: 루트

불확실성과 오류(공차)의 의미와 차이점은 무엇인가요?

길이, 무게, 시간 등을 측정할 때 결과에 ​​영향을 미치는 실수를 할 수 있습니다. 이러한 실수를 오류라고 하며 측정 과정에서 문제가 발생할 때 발생합니다. 오류는 우리가 사용하는 도구, 측정값을 읽는 사람, 측정에 사용하는 시스템 등으로 인해 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 온도계가 고장나서 잘못된 온도가 표시되면 우리가 읽는 모든 판독값이 같은 양만큼 차이가 나게 됩니다. 이는 측정값이 실제 값과 정확히 동일하지 않기 때문에 항상 약간 불확실하다는 것을 의미합니다. 따라서 우리가 무언가를 측정했는데 실제 값이 무엇인지 확신할 수 없을 때, 우리는 불확실성 범위라고 부르는 가능한 값의 범위를 고려해야 합니다. 불확실성과 오류를 이해하는 것은 우리가 가지고 있는 정보로 더 나은 결정을 내리는 데 도움이 되기 때문에 중요합니다.

불확실성과 오류의 차이

오류와 불확실성은 모두 측정에서 중요한 개념이지만 약간 다른 것을 나타냅니다. 오류는 실제 값과 측정된 값의 차이이며, 불확실성은 측정의 신뢰성을 기반으로 실제 값이 포함될 수 있는 가능한 값의 범위에 대한 추정입니다.

저항 측정의 예를 살펴보겠습니다. 우리는 물질의 저항에 대해 허용되는 값이 3.4옴이라는 것을 알고 있지만, 이를 두 번 측정하면 3.35옴과 3.41옴이라는 약간 다른 값을 얻게 됩니다. 이러한 차이는 오류로 인해 발생합니다. 그러나 이 두 값 사이의 범위인 0.06Ω이 불확실성 범위입니다.

또 다른 예는 실험실에서 중력 상수를 측정하는 것입니다. 중력 가속도에 대해 허용되는 표준은 9.81m/s^2입니다. 실험실에서는 진자를 사용하여 가속도를 측정하고 9.76m/s^2, 9.6m/s^2, 9.89m/s^2 및 9.9m/s^2의 값을 얻습니다. 이러한 변형은 오류로 인해 발생합니다. 평균값은 9.78m/s^2이고, 불확실성 범위는 9.6m/s^2~9.9m/s^2입니다. 절대 불확실성은 범위의 대략 절반이며, 이는 최대값과 최소값의 차이를 XNUMX로 나눈 값입니다.

오류와 불확실성을 이해하는 것은 측정의 신뢰성과 실제 값이 포함될 수 있는 값의 범위를 아는 데 도움이 되기 때문에 중요합니다. 이 지식은 우리가 수집한 데이터를 기반으로 정보에 입각한 결정을 내리는 데 중요합니다.

평균의 표준오차는 무엇인가?

평균의 표준 오차는 평균과 비교하여 측정에 얼마나 많은 오차가 있는지 알려주는 값입니다. 이를 계산하려면 따라야 할 몇 가지 단계가 있습니다.

  1. 모든 측정값의 평균을 구합니다.
  2. 각 측정값에서 평균을 빼고 결과를 제곱합니다.
  3. 뺀 값을 모두 더합니다.
  4. 결과를 총 측정 횟수의 제곱근으로 나눕니다.

예를 살펴보겠습니다. 물체의 무게를 3.0번 측정했는데 그 무게가 3.001g 미만의 정밀도로 정확히 2.997kg이어야 한다는 것을 알고 있다고 가정해 보세요. 네 번 측정하면 3.003kg, 3.002kg, XNUMXkg, XNUMXkg이 나옵니다. 평균값의 오류를 얻으려면 먼저 평균을 계산해야 합니다.

(3.001kg + 2.997kg + 3.003kg + 3.002kg) / 4 = 3.000kg

우리가 측정한 값에는 소수점 이하 유효 숫자가 3.000개뿐이므로 그 값을 XNUMXkg으로 간주합니다. 다음으로, 각 측정값에서 평균을 빼고 결과를 제곱해야 합니다.

(3.001kg – 3.000kg)^2 = 0.000001kg^2

(2.997kg – 3.000kg)^2 = 0.000009kg^2

(3.003kg – 3.000kg)^2 = 0.000009kg^2

(3.002kg – 3.000kg)^2 = 0.000004kg^2

이 값은 너무 작고 소수점 이하 0개의 유효 숫자만 사용하므로 첫 번째 값을 XNUMX으로 간주합니다. 이제 차이의 제곱을 모두 더할 수 있습니다.

0 + 0.000009kg^2 + 0.000009kg^2 + 0.000004kg^2 = 0.000022kg^2

이것을 샘플 수의 제곱근(√4)으로 나누면 다음을 얻습니다.

√(0.000022kg^2 / 4) = 0.002kg

이 경우 평균의 표준오차(σx)는 거의 아무것도 아니다. 이는 우리가 측정한 값이 물체 무게의 실제 값에 매우 가깝다는 것을 의미합니다.

교정과 공차란 무엇입니까?

공차는 측정에 허용되는 최대값과 최소값 사이의 범위입니다. 교정은 모든 측정값이 공차 범위 내에 속하도록 측정 장비를 조정하는 프로세스입니다. 기기를 교정하기 위해 기기의 결과를 더 높은 정밀도와 정확도를 가진 다른 기기 또는 값이 매우 높은 정밀도를 갖는 개체와 비교합니다.

한 가지 예는 저울 교정입니다.

그러나 교정은 일회성 프로세스가 아니라는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 정확도를 유지하려면 스케일을 정기적으로 재보정해야 합니다. 온도, 습도, 기압과 같은 환경 요인도 스케일 판독값에 영향을 미칠 수 있으므로 스케일을 교정할 때 이러한 요인을 고려하는 것이 중요합니다.

또한, 교정 중인 저울에 적합한 분동을 사용하는 것이 중요합니다. 너무 무겁거나 너무 가벼운 분동을 사용하면 교정 정확도에 영향을 줄 수 있습니다.

전반적으로 스케일 교정은 정확하고 신뢰할 수 있는 측정을 보장하는 데 중요한 단계입니다. 적절한 교정 절차를 따르고 정기적으로 스케일을 재교정하여 정확도를 유지하는 것이 중요합니다.

불확실성은 어떻게 보고되나요?

측정을 수행할 때 측정된 값과 관련된 불확실성을 보고하는 것이 중요합니다. 이를 통해 독자는 측정의 잠재적 변화와 보고된 값에 포함될 수 있는 신뢰 수준을 이해하는 데 도움이 됩니다.

예를 들어, 4.5옴의 불확실성으로 0.1옴의 저항 값을 측정한다고 가정해 보겠습니다. 불확실성이 포함된 보고된 값은 4.5 ± 0.1Ω입니다. 이는 저항의 실제 값이 4.4Ω ~ 4.6Ω 범위 내에 있음을 확신한다는 의미입니다.

불확실성 값은 제조부터 디자인, 건축, 기계 및 의학에 이르기까지 다양한 프로세스에서 발견됩니다. 이는 결과를 정확하고 안정적으로 측정하고 보고하는 데 있어 중요한 측면입니다. 불확실성 값을 보고함으로써 오류를 줄이고 측정 품질을 향상시킬 수 있습니다. 이는 과학 연구, 엔지니어링, 의료를 포함한 많은 분야에서 매우 중요합니다.

절대오차와 상대오차란 무엇입니까?

측정 오류는 절대적이거나 상대적입니다. 절대 오류는 예상 값과의 차이를 나타냅니다. 상대 오차는 절대 오차와 실제 값 사이에 얼마나 많은 차이가 있는지를 측정합니다.

절대 오류

이 예에서는 절대 오차를 계산하기 위해 측정된 값(1.4m/s)에서 예상 값(1.42m/s)을 뺍니다.

절대오차 = 측정값 – 기대값
절대 오차 = 1.42m/s – 1.4m/s
절대 오차 = 0.02m/s

따라서 이 경우의 절대 오차는 0.02m/s입니다. 이는 측정된 값이 예상된 값에서 0.02m/s만큼 벗어났음을 의미합니다.

절대 오차는 양수일 수도 있고 음수일 수도 있다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 양의 절대 오차는 측정된 값이 예상된 값보다 높다는 것을 의미하고, 음의 절대 오차는 측정된 값이 예상된 값보다 낮다는 것을 의미합니다. 이 경우 절대 오차는 양수입니다. 즉, 측정된 값이 예상된 값보다 약간 높다는 의미입니다.

절대 오차는 측정 정확도를 측정하는 유용한 수단이지만 측정 정밀도에 대해서는 아무 것도 알려주지 않습니다. 정밀도를 평가하려면 동일한 수량을 여러 번 측정하여 얻은 값의 범위를 살펴봐야 합니다.

상대 오류

상대 오차는 측정된 값과 예상된 값 간의 차이를 측정한 값으로, 예상된 값에 대한 백분율로 표시됩니다. 측정되는 값의 규모를 고려하므로 다양한 크기의 값을 비교하는 데 유용합니다.

상대 오차를 계산하려면 절대 오차를 예상 값으로 나누고 100을 곱하여 백분율을 구합니다.

상대오차 = (절대오차 / 기대값) x 100%

이전 예를 사용하면 절대 오차는 0.02m/s이고 예상 값은 1.4m/s였습니다. 따라서 상대 오차는 다음과 같습니다.

상대 오차 = (0.02m/s / 1.4m/s) x 100%
상대 오차 = 1.43%

보시다시피 상대 오차는 측정되는 값의 크기를 고려하기 때문에 절대 오차보다 작습니다. 이 경우 측정값과 기대값의 차이는 기대값의 1.43%에 불과하다.

규모 차이의 또 다른 예는 위성 이미지의 오류입니다. 이미지 오류의 값이 10미터인 경우 이는 인간 규모로 볼 때 큰 수치입니다. 그러나 이미지의 크기가 높이 10km, 너비 10km인 경우 10m의 오차는 전체 면적의 0.1%에 불과하므로 작습니다.

상대 오류를 백분율로 보고하면 독자가 오류의 중요성과 예상 값과의 관계를 이해하는 데 도움이 될 수 있습니다.

불확실성과 오류 표시

불확실성은 그래프와 차트에 막대로 표시됩니다. 막대는 측정된 값에서 가능한 최대 및 최소 값까지 확장됩니다. 최대값과 최소값 사이의 범위가 불확도 범위입니다. 다음 불확실성 막대의 예를 참조하세요.

각 측정의 평균값 포인트를 표시하는 플롯. 각 지점에서 확장된 막대는 데이터가 얼마나 달라질 수 있는지 나타냅니다.

각 측정의 평균값 포인트를 표시하는 플롯. 각 지점에서 확장된 막대는 데이터가 얼마나 달라질 수 있는지 나타냅니다.

‍여러 측정을 사용하는 다음 예를 참조하세요.

10미터 이동하는 공의 속도를 1회 측정합니다. 공의 속도는 전진함에 따라 감소합니다. 0.2미터 눈금을 표시하고 스톱워치를 사용하여 공이 그 눈금 사이를 이동하는 데 걸리는 시간을 측정합니다. 스톱워치에 대한 반응이 약 1.4m/s라는 것을 알고 있습니다. 스톱워치로 시간을 측정하고 거리로 나누면 1.22m/s, 1.15m/s, 1.01m/s, 0.2m/s와 같은 값을 얻습니다. 스톱워치에 대한 반응이 지연되어 불확실성이 발생하기 때문입니다. 1.4m/s의 경우 결과는 0.2 ± 1.22 m/s, 0.2 ± 1.15 m/s, 0.2 ± 1.01 m/s 및 0.2 ± XNUMXm/s입니다. 결과 플롯은 다음과 같이 보고될 수 있습니다.

플롯은 대략적인 표현을 보여줍니다. 점은 1.4m/s, 1.22m/s, 1.15m/s 및 1.01m/s의 실제 값을 나타냅니다. 막대는 ±0.2m/s의 불확실성을 나타냅니다.

플롯은 대략적인 표현을 보여줍니다. 점은 1.4m/s, 1.22m/s, 1.15m/s 및 1.01m/s의 실제 값을 나타냅니다. 막대는 ±0.2m/s의 불확실성을 나타냅니다.

불확실성과 오류는 어떻게 전파됩니까?

불확실성과 오류가 있는 값으로 계산을 수행할 때 이러한 불확실성은 결과의 정확성에 영향을 미칠 수 있으므로 계산에 포함시키는 것이 중요합니다. 이러한 과정을 불확실성 전파 또는 오류 전파라고 하며, 이는 실제 데이터와의 편차 또는 데이터 편차로 이어질 수 있습니다.

불확실성 전파에는 백분율 오차와 절대 오차라는 두 가지 접근 방식이 있습니다. 백분율 오류 접근법에서는 각 측정에 대한 상대 오류를 계산하고 이를 합산하여 전체 백분율 오류 전파를 결정합니다. 절대 오차 접근법에서는 각 측정의 절대 오차를 합산하여 전체 절대 오차 전파를 결정합니다.

예를 들어, 중력 가속도를 9.91m/s^2로 측정하고 불확실성 ± 0.1m/s^2, 물체의 질량을 2 ± 0.001kg으로 측정하면 중력 가속도에 대한 상대 오차를 다음과 같이 계산합니다. 1%이고 질량에 대한 상대 오차는 0.05%입니다. 그런 다음 이러한 상대 오류를 함께 추가하여 전체 오류 전파 비율을 결정합니다.

결과의 불확실성 전파를 계산하려면 불확실성이 포함된 기대값을 계산해야 합니다. 예를 들어, 떨어지는 물체에 의해 생성된 힘을 계산하려면 F = m * g 공식을 사용합니다. 여기서 m은 질량이고 g는 중력 가속도입니다. 그런 다음 불확실성이 포함된 측정값을 사용하여 힘을 계산합니다. 결과는 '기대값 ± 불확실성 값'으로 표현됩니다.

다른 사람들이 측정 및 계산의 정확성과 신뢰성을 이해할 수 있도록 결과의 불확실성과 오류를 보고하는 것이 중요합니다.

불확실성 보고

불확실성이 있는 결과를 보고하려면 계산된 값과 불확실성을 사용합니다. 괄호 안에 수량을 입력하도록 선택할 수 있습니다. 다음은 불확실성을 보고하는 방법의 예입니다. 우리는 힘을 측정하고 결과에 따르면 힘의 불확실성은 0.21뉴턴입니다. 우리의 결과는 19.62 뉴턴이며, 이는 플러스 또는 마이너스 0.21 뉴턴의 변화가 가능합니다.

불확실성의 전파

계산에서 불확실성을 전파할 때 총 불확실성을 결정하기 위해 적용할 수 있는 일반 규칙이 있습니다.

더하기 및 빼기: 값을 더하거나 뺄 때 전체 불확도는 개별 불확도를 더하거나 뺀 결과입니다. 예를 들어, 두 개의 측정값(A ± a)과 (B ± b)이 있고 이를 더하면 결과는 (A + B) ± (a + b)가 됩니다.

예를 들어 길이가 1.3m와 1.2m이고 각각 ​​±0.05m와 ±0.01m의 불확실성을 갖는 두 개의 금속 조각을 추가하는 경우 전체 길이는 ±(1.5m + 0.05m의 불확실성으로 0.01m가 됩니다. ) = ± 0.06m.

정확한 숫자로 곱하기: 값에 정확한 숫자를 곱할 때 전체 불확도는 불확실성에 정확한 숫자를 곱하여 계산됩니다. 예를 들어, 반경 r = 1 ± 0.1m인 원의 면적을 계산하는 경우 해당 면적의 불확실성은 2 • 3.1415·1 ± 0.1m가 되며, 불확실성 값은 0.6283m입니다.

정확한 숫자로 나누기: 값을 정확한 숫자로 나눌 때 전체 불확실성은 불확실성을 정확한 값으로 나누어 계산됩니다. 예를 들어 길이가 1.2m이고 불확실성이 ±0.03m이고 이를 5로 나누면 결과의 불확실성은 ±0.03/5 또는 ±0.006이 됩니다.

데이터 편차

불확실성이 있는 값을 사용하여 계산을 수행하면 결과 데이터에도 실제 데이터와의 편차가 발생하며, 이는 데이터 편차(기호 'δ')를 사용하여 계산할 수 있습니다. 데이터 편차는 값에 대해 수행되는 작업 유형에 따라 달라집니다.

덧셈 또는 뺄셈 후 데이터 편차: 결과의 데이터 편차를 계산하려면 불확실성 제곱합의 제곱근을 계산해야 합니다.

δ = sqrt(a^2 + b^2)

예를 들어 A = 10 ± 0.2와 B = 8 ± 0.3이라는 두 값을 빼면 결과는 C = A – B = 2 ± 0.4가 됩니다. C의 데이터 편차는 δ = sqrt(0.2^2 + 0.3^2) = 0.36입니다.

곱셈 또는 나눗셈 후의 데이터 편차: 여러 측정값의 데이터 편차를 계산하려면 불확실성-실제 값 비율이 필요하고 그런 다음 제곱된 항의 합의 제곱근을 계산합니다. 예를 들어 A ± a와 B ± b 두 값이 있고 이를 곱하면 결과는 C = A * B ± (A*B) * sqrt((a/A)^2 + (b/ 비)^2). 값이 세 개 이상인 경우 방정식에 더 많은 항을 추가해야 합니다.

지수가 포함된 경우 데이터 편차: 지수가 포함된 값이 있는 경우 지수에 불확실성을 곱한 다음 곱셈과 나눗셈 공식을 적용해야 합니다. 예를 들어 y = (A ± a)^2 * (B ± b)^3인 경우 데이터 편차는 다음과 같습니다.

δ = sqrt((2Aa)^2 + (3Bb)^2)

값이 세 개 이상인 경우 방정식에 더 많은 항을 추가해야 합니다.

데이터 편차를 계산함으로써 결과에 대한 불확실성의 영향을 평가하고 측정 및 계산의 정확성과 신뢰성을 결정할 수 있습니다.

반올림 숫자

오류와 불확실성을 처리할 때 숫자를 더 쉽게 관리할 수 있도록 반올림해야 하는 경우가 많습니다. 이는 결과에 크게 영향을 미치지 않는 매우 작거나 매우 큰 불확실성을 처리할 때 특히 유용합니다. 숫자 반올림에는 반올림 또는 내림이 포함될 수 있습니다.

예를 들어, 지구상의 중력 상수 값을 측정할 때 값은 9.81m/s^2이고 불확실성은 ±0.10003m/s^2입니다. 소수점 이하의 불확실성 값은 0.0003으로, 불확실성 값 0.1에 비해 매우 작은 값이다. 따라서 측정에 큰 영향을 미치지 않으므로 소수점 첫째 자리 뒤의 숫자를 제거하고 ±0.1m/s^2로 반올림할 수 있습니다.

그러나 특히 소수의 유효 숫자로 반올림할 때 반올림으로 인해 오류가 발생할 수도 있다는 점을 기억하는 것이 중요합니다. 따라서 값을 반올림하거나 자르기로 결정하기 전에 측정 및 계산에 필요한 정확도 수준을 고려하는 것이 중요합니다.

정수 및 소수 반올림

숫자 반올림에는 데이터의 크기와 측정 및 계산에 필요한 정확도 수준을 기반으로 어떤 값이 중요한지 결정하는 작업이 포함됩니다. 숫자를 반올림할 때 반올림 또는 반내림이라는 두 가지 옵션이 있습니다. 우리가 선택하는 옵션은 중요하다고 생각되는 가장 낮은 값이라고 생각되는 숫자 뒤의 숫자에 따라 다릅니다.

반올림할 때 필요하지 않다고 생각되는 숫자를 제거합니다. 예를 들어 3.25를 3.3으로 반올림할 수 있습니다. 반올림할 때 필요하지 않다고 생각되는 숫자도 제거합니다. 예를 들어, 76.24를 76.2로 내림할 수 있습니다.

반올림 및 내림의 일반적인 규칙은 숫자가 1에서 5 사이의 숫자로 끝나면 반내림된다는 것입니다. 숫자가 5에서 9 사이로 끝나면 반올림되고, 5는 항상 반올림됩니다. 예를 들어 3.16과 3.15는 3.2가 되고, 3.14는 3.1이 됩니다.

질문이 주어지면 주어진 데이터를 바탕으로 필요한 소수 자릿수(또는 유효 숫자)를 추론할 수 있는 경우가 많습니다. 예를 들어, 소수점 이하 두 자리만 있는 숫자가 있는 플롯이 제공되면 답에 소수점 두 자리가 포함되어야 합니다. 적절한 소수 자릿수 또는 유효 숫자를 결정하려면 측정 및 계산에 필요한 정확도 수준에 주의를 기울이는 것이 중요합니다.

불확실성과 오류가 있는 수량 반올림

오류와 불확실성이 있는 측정을 처리할 때 오류와 불확실성이 높은 값이 총 불확실성과 오류 값을 결정합니다. 특정 소수점 이하 자릿수나 유효 숫자가 필요한 질문에 답할 때는 다른 접근 방식이 필요합니다.

예를 들어, (9.3 ± 0.4) 및 (10.2 ± 0.14)의 두 값이 있고 이를 추가하는 경우 해당 불확실성도 추가해야 합니다. 총 불확도는 개별 불확도의 절대값의 합(±0.54)입니다. 0.54를 가장 가까운 정수로 반올림하면 0.5가 됩니다. 따라서 숫자와 그 불확실성을 모두 더하고 반올림한 결과는 19.5 ± 0.5m입니다.

곱할 두 값이 주어지고 둘 다 불확실성이 있고 전파된 총 오류를 계산하라는 요청을 받으면 두 값의 백분율 오류를 계산하고 이를 더하여 총 오류를 얻을 수 있습니다. 예를 들어 A = 3.4 ± 0.01 및 B = 5.6 ± 0.1인 경우 백분율 오류는 각각 0.29% 및 1.78%입니다. 총 오류는 백분율 오류의 합인 2.07%입니다. 답을 소수점 한 자리까지 근사화하라는 요청을 받으면 소수점 첫째 자리를 취하거나 숫자를 반올림할 수 있습니다.

요약하자면, 불확실성과 오류는 측정 및 계산에 변화를 가져오며 사용자가 측정된 값이 얼마나 달라질 수 있는지 알 수 있도록 불확실성을 보고하는 것이 중요합니다. 오류나 불확실성이 있는 데이터로 계산을 할 때 오류와 불확실성이 전파되며, 가장 큰 오류나 불확실성이 있는 데이터의 오류를 고려해야 합니다. 결과가 얼마나 신뢰할 수 있는지 판단할 수 있도록 오류가 어떻게 전파되는지 계산하는 것이 유용합니다.

불확실성과 오류

측정 오류와 불확실성의 차이점은 무엇입니까?

오류는 측정된 값과 실제 또는 예상 값 간의 차이입니다. 불확실성은 측정된 값과 예상 또는 실제 값 사이의 변동 범위입니다. 

물리학에서 불확실성을 어떻게 계산합니까?

불확실성을 계산하기 위해 허용된 값 또는 예상 값을 취하고 예상 값에서 가장 먼 값을 뺍니다. 불확실성은 이 결과의 절대값입니다.

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