불확실성과 오류(공차)의 의미와 차이점은 무엇인가요?

불확실성과 오류

길이, 무게 또는 시간과 같은 물리적 양을 측정할 때 측정 과정에서 실수가 발생하여 결과에 영향을 미칠 수 있습니다. 이러한 실수를 오류라고 합니다. 오류는 잘못된 측정 도구, 측정값 판독 시의 인적 오류 또는 측정 시스템 문제 등 다양한 요인으로 인해 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 온도계가 오작동하여 잘못된 온도를 표시하는 경우 해당 온도계로 측정한 모든 판독값은 일정량만큼 오차가 발생합니다. 이는 측정값이 실제 값과 정확히 일치하지 않기 때문에 측정값이 불확실해집니다. 측정값의 실제 값이 확실하지 않을 때 불확실성 범위라고 하는 가능한 값 범위를 고려합니다. 불확실성과 오류를 이해하는 것은 사용 가능한 정보를 기반으로 보다 정보에 입각한 결정을 내리는 데 도움이 되므로 매우 중요합니다.

불확실성과 오류의 차이

오차와 불확실성은 모두 측정에서 중요한 개념이지만, 서로 다른 의미를 가지고 있습니다. 오차는 실제 값과 측정된 값 사이의 수치적 차이입니다. 반면, 불확실성은 측정의 신뢰성을 기반으로 실제 값이 있을 가능성이 있는 범위에 대한 추정치입니다.

저항 측정의 예를 생각해 보겠습니다. 재료의 저항에 대한 허용 값이 3.4옴이라고 가정해 보겠습니다. 두 번 측정하여 3.35옴과 3.41옴의 값을 얻었을 때, 이 측정 값과 허용 값의 차이는 오류입니다. 두 측정 값 사이의 범위인 0.06옴(3.41 – 3.35)은 불확도 범위를 나타냅니다.

또 다른 예는 실험실에서 중력 상수를 측정하는 것입니다. 중력 가속도에 대한 허용 기준은 9.81m/s²입니다. 진자를 사용한 실험에서 9.76m/s², 9.6m/s², 9.89m/s², 9.9m/s²와 같은 값을 얻습니다. 허용 값과의 이러한 차이는 오류입니다. 이러한 측정의 평균값은 9.78m/s²이고 불확도 범위는 9.6m/s²에서 9.9m/s²입니다. 절대 불확도는 이 범위의 약 절반이며 (9.9 – 9.6) / 2 = 0.15m/s²로 계산됩니다.
오류와 불확실성을 이해하면 측정의 신뢰성을 평가하고 실제 수량에 대한 가능한 값의 범위를 결정하는 데 도움이 됩니다. 이러한 지식은 수집된 데이터를 기반으로 근거 있는 결정을 내리는 데 필수적입니다.

평균의 표준오차는 무엇인가?

평균의 표준 오차는 측정값이 평균값에서 얼마나 벗어나는지 나타내는 값입니다. 이를 계산하려면 다음 단계를 따르세요.

1. 평균을 계산합니다: 모든 측정값의 평균을 구합니다.
2. 빼기와 제곱: 측정된 각 값에서 평균을 빼고 결과를 제곱합니다.
3. 값을 합산합니다: 뺀 값을 모두 더합니다.
4. 표본 크기의 제곱근으로 나누세요: 측정한 총 횟수의 제곱근으로 합계를 나눕니다.

예를 들어, 물체의 무게를 네 번 측정한다고 가정해 보겠습니다. 물체의 무게는 정확히 3.0kg이고 정확도는 3.001g 미만입니다. 네 가지 측정값은 2.997kg, 3.003kg, 3.002kg, XNUMXkg입니다.

• 먼저 평균을 계산합니다: (3.001kg + 2.997kg + 3.003kg + 3.002kg) / 4 = 3.00075kg. 우리의 측정값은 소수점 뒤에 유효 숫자가 세 자리뿐이므로 값을 3.000kg으로 합니다.
• 그런 다음 각 측정값에서 평균을 빼고 결과를 제곱합니다.
(3.001kg – 3.000kg)² = 0.000001kg²
(2.997kg – 3.000kg)² = 0.000009kg²
(3.003kg – 3.000kg)² = 0.000009kg²
(3.002kg – 3.000kg)² = 0.000004kg²
소수점 뒤에 유효 숫자가 세 자리만 있다면 첫 번째 값은 0으로 근사할 수 있습니다.
• 다음으로, 모든 제곱 차이를 더합니다: 0 + 0.000009 kg² + 0.000009 kg² + 0.000004 kg² = 0.000022 kg²
• 마지막으로 샘플 수의 제곱근으로 나눕니다(√4 = 2): √(0.000022 kg² / 4) = 0.002 kg

이 경우 평균의 표준 오차(σx)가 매우 작아서 우리가 측정한 값이 물체의 무게의 실제 값에 가깝다는 것을 알 수 있습니다.

교정과 공차란 무엇입니까?

허용 오차는 측정에 허용되는 최대값과 최소값 사이의 범위를 말합니다. 반면 교정은 모든 측정값이 허용 오차 범위 내에 있도록 측정 기기를 조정하는 프로세스입니다. 기기를 교정하려면 측정 결과를 보다 정밀하고 정확한 기기의 결과나 알려진 고정밀 값의 기준 대상과 비교합니다.

한 가지 예는 저울의 교정입니다.

교정은 일회성 작업이 아닙니다. 저울은 정확성을 유지하기 위해 정기적으로 재교정해야 합니다. 온도, 습도, 기압과 같은 환경 요인은 저울의 판독값에 영향을 미칠 수 있습니다. 예를 들어, 온도 변화로 인해 저울의 금속 구성 요소가 팽창하거나 수축하여 부정확한 측정이 발생할 수 있습니다. 따라서 교정 중에 이러한 환경 요인을 고려하는 것이 중요합니다.

또한 저울을 교정할 때는 적절한 무게를 사용하는 것이 중요합니다. 너무 무겁거나 너무 가벼운 무게를 사용하면 교정 프로세스가 왜곡되고 저울의 정확도에 영향을 미칠 수 있습니다. 전반적으로 저울을 교정하는 것은 정확하고 신뢰할 수 있는 측정값을 얻는 데 중요한 단계입니다. 적절한 교정 절차를 따르고 정기적으로 재교정하는 것은 저울의 정확도를 유지하는 데 필수적입니다.

불확실성은 어떻게 보고되나요?

측정 결과를 제시할 때, 연관된 불확실성을 보고하는 것이 중요합니다. 이를 통해 다른 사람들이 측정의 잠재적인 변화와 보고된 값의 신뢰 수준을 이해하는 데 도움이 됩니다.

예를 들어, 불확도가 4.5옴인 0.1옴의 저항 값을 측정하면 4.5 ± 0.1옴으로 보고합니다. 이는 저항의 실제 값이 4.4옴에서 4.6옴 범위 내에 있다는 확신을 나타냅니다.

불확실성 값은 제조, 설계, 건축, 기계 및 의학을 포함한 많은 분야에서 관련이 있습니다. 불확실성 값은 결과를 정확하게 측정하고 보고하는 데 중요한 역할을 합니다. 불확실성 값을 보고함으로써 오류를 최소화하고 측정 품질을 개선할 수 있으며, 이는 과학 연구, 엔지니어링 및 의료에 필수적입니다.

절대오차와 상대오차란 무엇입니까?

측정 오류는 절대 오류 또는 상대 오류로 분류할 수 있습니다. 절대 오류는 측정된 값과 예상 값의 차이를 설명합니다. 반면 상대 오류는 이 차이가 실제 값과 관련하여 얼마나 중요한지를 측정합니다.

절대 오류

절대 오차를 계산하려면 다음 공식을 사용합니다. 절대 오차 = 측정값 - 기대값. 예를 들어, 기대값이 1.4m/s이고 측정값이 1.42m/s이면 절대 오차는 1.42m/s - 1.4m/s = 0.02m/s입니다.

절대 오차는 양수 또는 음수일 수 있다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 양의 절대 오차는 측정된 값이 예상 값보다 높다는 것을 의미하고, 음의 절대 오차는 측정된 값이 낮다는 것을 의미합니다. 이 경우 절대 오차가 양수이므로 측정된 값은 예상 값보다 약간 높습니다.

절대 오차는 단일 측정의 정확도를 평가하는 데 유용하지만 측정의 정밀도에 대한 정보는 제공하지 않습니다. 정밀도를 평가하려면 동일한 양의 여러 측정에서 얻은 값 범위를 살펴봐야 합니다.

상대 오류

상대 오차는 측정된 값과 기대값의 차이를 측정한 것으로, 기대값의 백분율로 표현됩니다. 측정되는 값의 척도를 고려하므로 서로 다른 크기의 값의 오차를 비교하는 데 특히 유용합니다.

상대 오차 공식은 다음과 같습니다. 상대 오차 = (절대 오차 / 기대값) x 100%. 절대 오차가 0.02m/s이고 기대값이 1.4m/s인 이전 예를 사용하면 상대 오차는 (0.02m/s / 1.4m/s) x 100% ≈ 1.43%입니다.

보시다시피 상대 오차는 값의 크기를 고려하기 때문에 절대 오차보다 작습니다. 이 경우 측정된 값과 기대값의 차이는 기대값의 1.43%에 불과합니다.

규모의 차이를 설명하는 또 다른 예는 위성 이미지의 오류입니다. 위성 이미지의 오류가 10m라면 인간 척도 거리를 고려할 때 크게 보입니다. 그러나 이미지가 10km x 10km인 경우 10m의 오류는 전체 면적의 0.1%에 불과하므로 비교적 작습니다(10km = 10000m이고 면적 비율 측면에서 10 / (10000×10000)×100% = 0.0001%). 상대 오류를 백분율로 보고하면 독자가 예상 값과 관련하여 오류의 중요성을 더 잘 이해하는 데 도움이 됩니다.

불확실성과 오류 표시

불확실성은 일반적으로 그래프와 차트에서 막대로 표현됩니다. 이러한 막대는 측정된 값에서 최대 및 최소 가능한 값까지 확장됩니다. 최대 값과 최소 값 사이의 범위가 불확실성 범위입니다. 불확실성 막대의 다음 예를 참조하세요.

‍

예를 들어, 10m를 움직이는 공의 속도를 측정하는 실험을 생각해 보겠습니다. 공의 속도는 움직일수록 감소합니다. 1m 구간을 표시하고 스톱워치를 사용하여 공이 각 구간 사이를 이동하는 데 걸리는 시간을 측정합니다. 스톱워치를 시작하고 멈춘 후 반응이 지연되어 0.2m/s의 불확실성이 있습니다. 1.4m/s, 1.22m/s, 1.15m/s, 1.01m/s의 속도 값을 얻었다고 가정합니다. 불확실성을 포함한 측정값은 1.4±0.2m/s, 1.22±0.2m/s, 1.15±0.2m/s, 1.01±0.2m/s로 보고됩니다. 결과 플롯은 다음과 같이 보고할 수 있습니다.

 

그래프에서 점은 실제 측정된 값(1.4m/s, 1.22m/s, 1.15m/s, 1.01m/s)을 나타내고, 각 점에서 뻗어 나온 막대는 ±0.2m/s의 불확실성을 나타냅니다. 이 시각적 표현은 각 측정에 대한 실제 값이 어느 범위 내에 있는지 빠르게 이해하는 데 도움이 됩니다.

불확실성과 오류는 어떻게 전파됩니까?

불확실성과 오류가 있는 값을 사용하여 계산을 수행할 때는 최종 결과의 정확도에 영향을 미칠 수 있으므로 계산에서 이러한 불확실성을 고려하는 것이 필수적입니다. 이 프로세스는 불확실성 전파 또는 오류 전파로 알려져 있으며, 실제 데이터와의 편차, 즉 데이터 편차로 이어질 수 있습니다.

불확실성 전파에는 두 가지 일반적인 접근 방식이 있습니다. 백분율 오차와 절대 오차입니다. 백분율 오차 접근 방식에서는 각 측정에 대한 상대 오차를 계산하고 이를 합산하여 전체 백분율 오차 전파를 결정합니다. 절대 오차 접근 방식에서는 각 측정의 절대 오차를 더하여 전체 절대 오차 전파를 찾습니다.

예를 들어, 중력 가속도를 ±9.91 m/s²의 불확실성으로 0.1 m/s²로 측정하고 물체의 질량을 2 ± 0.001 kg으로 측정하면 중력 가속도의 상대 오차는 (0.1 / 9.91)×100% ≈ 1%이고 질량의 상대 오차는 (0.001 / 2)×100% = 0.05%입니다. 전체 백분율 오차 전파를 찾기 위해 이러한 상대 오차를 합산합니다.

계산 결과의 불확실성 전파를 계산하려면 불확실성을 포함하면서 기대값을 계산해야 합니다. 예를 들어, F = m * g(여기서 m은 질량이고 g는 중력 가속도) 공식을 사용하여 낙하하는 물체가 생성하는 힘을 계산할 때, 측정된 값과 불확실성을 함께 사용하여 힘을 계산합니다. 그런 다음 결과는 '기대값 ± 불확실성 값'으로 표현됩니다.

결과의 불확실성과 오류를 보고하는 것은 다른 사람들이 측정 및 계산의 정확성과 신뢰성을 평가할 수 있도록 하는 데 매우 중요합니다.

불확실성 보고

불확도가 있는 측정 결과를 보고하려면 계산된 값 뒤에 불확도를 적습니다. 명확성을 위해 양을 괄호로 묶을 수도 있습니다. 예를 들어, 힘을 측정하고 힘의 불확도가 0.21뉴턴이고 측정된 값이 19.62뉴턴인 경우 19.62 ± 0.21뉴턴 또는 (19.62 ± 0.21)N으로 보고합니다.

불확실성의 전파

계산에서 불확실성을 전파할 때, 다양한 산술 연산에 대해 특정 규칙이 있습니다.

• 덧셈과 뺄셈: 값을 더하거나 뺄 때 총 불확도는 개별 불확도의 합입니다. 예를 들어, 두 개의 측정값(A ± a)과 (B ± b)이 있고 이를 더하면 결과는 (A + B) ± (a + b)입니다. 각각 ±1.3m와 ±1.2m의 불확도를 갖는 0.05m와 0.01m 길이의 두 개의 금속 조각을 더한다고 가정합니다. 총 길이는 1.3 + 1.2 = 1.5m이고 총 불확도는 ±(0.05m + 0.01m) = ±0.06m입니다.

• 정확한 숫자로 곱하기: 정확한 숫자로 값을 곱할 때, 총 불확도는 그 정확한 숫자로 불확도를 곱하여 계산합니다. 예를 들어, 반지름 r = 1 ± 0.1m인 원의 면적을 계산하고 원의 면적 공식이 A = πr²인 경우, 면적의 불확도는 2πr×0.1입니다. r = 1m로 대입하면 2×3.1415×1×0.1 = 0.6283m²(대략적인 불확도 값)이 됩니다.

• 정확한 숫자로 나누기: 값을 정확한 숫자로 나누면 총 불확도는 불확도를 해당 정확한 값으로 나누어 계산합니다. 예를 들어, 불확도가 ±1.2m인 길이가 0.03m이고 이를 5로 나누면 결과의 불확도는 ±0.03/5 = ±0.006m입니다.

데이터 편차

불확실성이 있는 값으로 계산을 수행할 때 결과 데이터는 실제 데이터와 다를 것입니다. 우리는 데이터 편차(기호 'δ'로 표시)를 사용하여 이 편차를 계산할 수 있습니다. 데이터 편차 계산은 값에 수행된 연산 유형에 따라 달라집니다.

• 더하기 또는 빼기 후 데이터 편차: 결과의 데이터 편차를 계산하기 위해 δ = √(a² + b²) 공식을 사용합니다. 여기서 a와 b는 더하거나 빼는 값의 불확실성입니다. 예를 들어, 두 값 A = 10 ± 0.2와 B = 8 ± 0.3을 빼면 결과는 C = A – B = 2 ± 0.4입니다. C의 데이터 편차는 δ = √(0.2² + 0.3²) = √(0.04 + 0.09) = 0.36입니다.

• 곱셈 또는 나눗셈 후 데이터 편차: 여러 측정값을 곱셈 또는 나눗셈할 때 불확실성-실수 값 비율을 사용합니다. 두 값 A ± a와 B ± b가 있고 이를 곱하면 결과는 C = A * B ± (A*B) * √((a/A)² + (b/B)²)입니다. 값이 두 개 이상인 경우 방정식에 항을 더 추가합니다.

• 지수가 포함된 경우 데이터 편차: 값에 지수가 있는 경우 지수를 불확실성으로 곱한 다음 곱셈 및 나눗셈 공식을 적용합니다. 예를 들어 y = (A ± a)² * (B ± b)³인 경우 데이터 편차는 δ = √((2Aa)² + (3Bb)²)입니다. 값이 두 개 이상인 경우 방정식에 추가 항이 추가됩니다.

데이터 편차를 계산하면 결과에 대한 불확실성의 영향을 평가하고 측정 및 계산의 정확성과 신뢰성을 확인하는 데 도움이 됩니다.

오류와 불확실성을 처리하는 과정에서 숫자를 반올림하는 것은 종종 값을 더 다루기 쉽게 만드는 필수적인 단계가 됩니다. 이는 특히 전체 결과에 무시할 만한 영향을 미치는 미미하거나 매우 큰 불확실성을 처리할 때 더욱 그렇습니다. 반올림은 값을 증가시키거나(반올림) 감소시키는(반내림) 것을 포함할 수 있습니다.

예를 들어, 지구에서 중력 상수를 측정할 때 측정된 값은 9.81 m/s²이고 불확도는 ±0.10003 m/s²일 수 있습니다. 여기서 첫 번째 소수점 이하의 불확도 값인 0.0003은 전체 불확도인 0.1에 비하면 미미합니다. 결과적으로 첫 번째 소수점 이하의 숫자를 버리고 불확도를 ±0.1 m/s²로 반올림하는 것이 합리적입니다. 이러한 단순화는 측정의 무결성에 큰 영향을 미치지 않기 때문입니다.

그러나 반올림 자체가 추가 오류를 유발할 수 있다는 점을 명심하는 것이 매우 중요합니다. 특히 유효 숫자의 수가 매우 낮은 수준으로 줄어들 때 더욱 그렇습니다. 따라서 값을 반올림하거나 잘라내기로 결정하기 전에 해당 측정 및 계산에 필요한 정확도 수준을 신중하게 평가하는 것이 중요합니다.

정수와 소수 반올림

숫자를 반올림하는 과정은 데이터의 크기와 측정 및 계산에 대한 원하는 정확도 수준을 모두 고려하여 어떤 값이 유의한지 판단하는 것을 필요로 합니다. 반올림할 때는 반올림과 반내림이라는 두 가지 주요 접근 방식이 있습니다. 이 두 가지 중에서 선택하는 것은 가장 낮은 순서의 유효 숫자 바로 뒤에 오는 숫자에 따라 달라집니다.

반올림할 때 덜 중요한 자릿수를 제거합니다. 예를 들어, 3.25는 3.3으로 반올림할 수 있습니다. 반대로, 반내림할 때는 덜 관련성이 있다고 생각되는 자릿수도 버립니다. 예를 들어, 76.24는 76.2로 반내림할 수 있습니다.​
일반적으로 숫자가 1~4 범위의 숫자로 끝나면 반올림합니다. 마지막 숫자가 5~9 범위에 있으면 반올림합니다. 특히 숫자가 5이면 일반적으로 반올림합니다. 예를 들어 3.15와 3.16은 모두 3.2로 반올림하고 3.14는 3.1로 반올림합니다.​

문제가 주어졌을 때 우리는 종종 주어진 데이터에서 필요한 소수 자릿수(또는 유효 숫자)를 유추할 수 있습니다. 예를 들어, 그래프나 데이터 집합이 소수 자릿수 두 자리만 있는 숫자로 제시된 경우, 우리의 답도 소수 자릿수 두 자리로 제시되어야 한다고 기대하는 것은 합리적입니다. 필요한 정확도 수준에 세심한 주의를 기울이는 것은 적절한 소수 자릿수 또는 유효 숫자를 결정하는 데 중요합니다.

불확실성과 오류가 있는 수량 반올림

오류와 불확실성을 동반하는 측정을 수행할 때, 더 큰 오류와 불확실성을 가진 값은 전반적인 불확실성과 오류 값을 결정하는 데 지배적인 역할을 합니다. 특정 소수점 또는 유효 자릿수를 지정하는 질문에 답할 때는 뚜렷한 접근 방식이 필요합니다.

예를 들어, 두 개의 값(9.3 ± 0.4)과 (10.2 ± 0.14)을 고려해 보겠습니다. 이 값들을 더할 때, 우리는 또한 불확실성을 더해야 합니다. 총 불확실성은 개별 불확실성의 절대값의 합으로 계산되며, 이 경우 ±(0.4 + 0.14)= ±0.54입니다. 0.54를 가장 가까운 소수점 첫째 자리까지 반올림하면 0.5가 됩니다. 따라서 두 숫자를 불확실성과 함께 더하고 반올림한 결과는 19.5 ± 0.5입니다.

불확실성이 있는 두 값을 곱하고 전파된 총 오차를 계산해야 하는 경우 각 값에 대한 백분율 오차를 계산한 다음 합산하여 총 오차를 구할 수 있습니다. 예를 들어 A = 3.4 ± 0.01이고 B = 5.6 ± 0.1인 경우 A와 B에 대한 백분율 오차는 각각 (0.01 / 3.4)×100% ≈ 0.29%와 (0.1 / 5.6)×100% ≈ 1.78%로 계산됩니다. 총 오차는 이러한 백분율 오차의 합으로 약 2.07%입니다. 소수점 첫째 자리까지 답을 근사해야 하는 경우 첫 번째 소수 자릿수를 취하거나 표준 반올림 규칙에 따라 숫자를 반올림할 수 있습니다.

요약하자면, 불확실성과 오류는 측정 및 관련 계산에 변동성을 도입합니다. 불확실성을 보고하는 것은 사용자가 측정된 값의 잠재적인 변동 범위를 이해할 수 있게 해주기 때문에 중요합니다. 오류와 불확실성은 이러한 불완전성이 있는 데이터를 포함하는 계산 중에 전파되며, 가장 큰 오류 또는 불확실성이 있는 데이터의 오류를 고려하는 것이 필수적입니다. 오류가 어떻게 전파되는지 계산하는 것은 결과의 신뢰성을 평가할 수 있게 해주기 때문에 가치가 있습니다.